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Ajouts sur page topos et genealogie Grothendieck

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Thierry 2 years ago
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grothendoc/grothendieck-genealogie.yml View File

@@ -64,7 +64,7 @@ persons:
~1953-02 - 1953-10: Sao Paulo, BR ; 1052 rua Oscar Freire
1953-11: Hamburg,,DE
1953-12 - 1954-03: Sucy-en-Brie, 94
08-1954 - ?: Sao Polo, BR
1954-08 - ?: Sao Polo, BR
1955-01 - 1956-08: Lawrence, KS, US ; University of Kansas
1955-09 - ?: Bois-Colombes, 92
# 2 av. de Verrières in Survivre n°1


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web/math/topos/citations.html View File

@@ -77,9 +77,41 @@ de Frobenius sur les variétés algèbriques en car. p > 0)
<cite>Esquisse thématique p 2</cite>
</blockquote>


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<!--
<h2><a href="../../../conferences/2015-caramello-connes-joyal-lafforgue.html">Joyal Connes Caramello Lafforgue - General discussion 2015</a></h2>
<div class="big4 bold">Toute la conférence contient des citations sur les topos.</div>
-->
<h2>Joyal Connes Caramello Lafforgue - General discussion 2015</h2>
Toute la conférence contient des citations sur les topos - voir les notes plus complètes : <a href="../../../conferences/2015-caramello-connes-joyal-lafforgue.html">Joyal Connes Caramello Lafforgue - General discussion 2015</a>
<br>Quelques extraits :
<blockquote>
<b>Olivia Caramello</b>
<br>05:58 We were all inspired by what Grothendieck hiself told about toposes in Récoltes and Semailles. (...) The insistance on the unifying power of the notion of topos. They can allow to embrace both the continous and the discrete, to unify different areas of mathematics. I think that now we are in a situation where topos theory is sufficiently mature from a technical view point to actually realize this dream of unifying different branches of mathematics with each other.
<br>
<br><b>Alain Connes</b>
<br>52:04
<br>Je pense qu'on aurait tort de croire que même au niveau géométrique l'idée du topos suffit à appréhender ce que la nature nous présente.
<br>Grothendieck insiste, et il a parfaitement raison, sur le fait que le topos unifie le discret et le continu. Mais il y a une autre merveille dans la nature, c'est le quantique, et le formalisme du quantique, qui a cette linéarité dont parlait Laurent, a cette merveille extraordinaire qu'il permet au discret, les opérateurs à spectre discret, de coexister avec les opérateurs à spectre continu.
<br>Et il y a une profondeur absolument incroyable dans le quantique ; le formalisme du quantique est extrèmement performant pour dire ce que c'est que la variabilité, ce que c'est qu'une variable.

<br>
<br>54:07 C'est aussi très important que non seulement nous puissions l'utiliser en tant que mathématiciens, que nous soyons capables de savoir qu'il y a un topos derrière telle ou telle situation. (...) On a tous l'idée simpliste qu'une chose est soit vraie soit fausse. Or l'idée du topos a, dans son caractère logique, dans le fait qu'il y ait cet oméga qui est le classifiant, a ce potentiel extraordinaire de formalisation, qui permet de ne plus avoir seulement le vrai et le faux, mais avoir l'idée de "a path to truth", d'un chemin vers la vérité.
<br>(...)
<br>Il y aura une évolution, je pense que ce sera une évolution très lente, je pense que ça prendra du temps avant que l'idée du topos passe dans la philosophie, mais une fois qu'elle l'aura fait, on pourra formuler les choses de manière beaucoup plus subtile et intéressante que par le vrai et le faux comme on le fait d'habitude.

<br>
<br>58:30 Ce qui m'a convaincu des topos, c'est que un topos extrèmement simple peut avoir comme espace de points un espace non commutatif. J'ai été estomaqué par ça. Les espaces dans lesquels la notion d'égalité est plus subtile ; ex des pavages de Penrose ; on peut faire coïncider deux pavages autant qu'on veut, l'égalité est mal définie. On peut avoir des choses qui se ressemblent autant qu'elles veulent sans être égales. Ça c'est quantique. La chose qui est quantique, cette espèce de fluctuation, elle est présente. Il y a ce pont entre le quantique et quelque chose qui après peut être formalisé par un topos. Mais il y a plus dans le quantique, parcequ'il y a les nombres complexes etc. Là il a une vraie question.
<br>C'est très dangereux de considérer qu'on a trouvé la chose qui est vraiment la géométrie quantique.

<br>
<br><b>Laurent Lafforgue</b>
<br>09:15 Alain Connes a expliqué que pendant longtemps il pensait que les topos n'étaient pas sérieux. Pour ce qui me concerne, moi qui vient de la géométrie algébrique, bien-sûr j'avais lu ce que Grothendieck disait dans Récoltes et Semailles, mais pour moi, les topos servaient à fabriquer des invariants cohomologiques dans des situation où la topologie ordinaire ne suffisait pas. Je connaissais la cohomologie étale, la cohomologie cristalline et les topos de Grothendieck pour moi se cantonnaient à cela. J'avais entendu aussi que les logiciens s'étaient emparés des topos, mais comme la plupart des mathématiciens je pensais que la logique ne servait à rien. J'ai pensé cela jusqu'à ce qu'Olivia m'explique des éléments de logique et à me parler de topos en relation avec cette logique. (...) J'ai été très vite convaincu par le théorème d'existence des topos classifiants (...) qui pour moi était une surprise totale.

<br>
<br><b>André Joyal</b>
<br>57:50 Le vrai mystère mathématique est peut-être quantum. Je pense que les topos ont une contribution à faire mais on dirait que que c'est encore du classique.
</blockquote>


<!-- ********************************************************************************* -->
@@ -98,6 +130,7 @@ Ce sont ces ingrédients qui sont essentiels et suffisants pour la définition d

<!-- ************************************* -->
<blockquote>
<div class="bold">Topos de Grothendieck</div>
On considère l'ensemble des faisceaux sur un espace topologique X
<br/>On associe l'espace X à l'ensemble de ses faisceaux
<br/>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;X --- > Sh(X)
@@ -116,23 +149,17 @@ On considère l'ensemble des faisceaux sur un espace topologique X
<blockquote>
The concept of topos was introduced by A. Grothendieck during his Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie, which took place at the IHES in the early sixties. The original motivation was that of defining a general notion of space on which one could define cohomological invariants in the algebro-geometric setting needed for proving the Weil's conjectures. In spite of this quite specific technical motivation, the notion of topos appeared at the very beginning as defining a new conception of space, capable of unifying the continuous and the discrete in an harmonious marriage: in the words of Grothendieck, "Un lit si vaste en effet (telle une vaste et paisible rivière très profonde...), que “tous les chevaux du roi y pourraient boire ensemble...” ".
<br>
<br>In the following years, new perspectives on the notion on topos emerged. According to Lawvere and Tierney, a topos can be considered not only as a generalized space but as a mathematical universe within which one can carry out most familiar set-theoretic constructions, but which also, thanks to the inherent ‘flexibility' of the notion of topos, can be profitably exploited to construct `new mathematical worlds' having particular properties. On the other hand, the theory of classifying toposes allows to regard a Grothendieck topos as a suitable kind of first-order theory modulo Morita-equivalence. Toposes have also been proved effective in studying dualities and establishing ‘bridges’ across different mathematical theories with a related semantic content.
<br>In the following years, new perspectives on the notion on topos emerged. According to Lawvere and Tierney, a topos can be considered not only as a generalized space but as a mathematical universe within which one can carry out most familiar set-theoretic constructions, but which also, thanks to the inherent "flexibility" of the notion of topos, can be profitably exploited to construct "new mathematical worlds" having particular properties. On the other hand, the theory of classifying toposes allows to regard a Grothendieck topos as a suitable kind of first-order theory modulo Morita-equivalence. Toposes have also been proved effective in studying dualities and establishing "bridges" across different mathematical theories with a related semantic content.
<cite><a href="https://sites.google.com/site/logiquecategorique/autres-seminaires/ihes/ihestopos">Topos à l'IHES</a></cite>
</blockquote>


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<h2>Alain Connes</h2>

<blockquote>
Je pense qu'on aurait tort de croire que même au niveau géométrique l'idée du topos suffit à appréhender ce que la nature nous présente.
<br>Grothendieck insiste, et il a parfaitement raison, sur le fait que le topos unifie le discret et le continu. Mais il y a une autre merveille dans la nature, c'est le quantique, et le formalisme du quantique, qui a cette linéarité dont parlait Laurent, a cette merveille extraordinaire qu'il permet au discret, les opérateurs à spectre discret, de coexister avec les opérateurs à spectre continu.
<br>Et il y a une profondeur absolument incroyable dans le quantique ; le formalisme du quantique est extrèmement performant pour dire ce que c'est que la variabilité, ce que c'est qu'une variable.
<cite><a href="https://www.youtube.com/watch?v=ggOzrB8a1nc">Topos à l'IHES, General discussion</a> - 52:04</cite>
</blockquote>


<!-- ************************************* -->
<h3>Citations de <a href="../../../../conferences/2017-connes-un-topo-sur-les-topos.html">Un topo sur les topos, 2017</a></h3>
<h3>Citations de <a href="../../../conferences/2017-connes-un-topo-sur-les-topos.html">Un topo sur les topos, 2017</a></h3>

<blockquote>
1:07:41 Une métaphore :
@@ -177,38 +204,81 @@ due au topos, ils dėpendent d'un alėa et ce dernier caractėrise le topos.

<!-- ********************************************************************************* -->
<h2>Laurent Lafforgue</h2>
<blockquote>
Alain Connes a expliqué que pendant longtemps il pensait que les topos n'étaient pas sérieux. Pour ce qui me concerne, moi qui vient de la géométrie algébrique, bien-sûr j'avais lu ce que Grothendieck disait dans Récoltes et Semailles, mais pour moi, les topos servaient à fabriquer des invariants cohomologiques dans des situation où la topologie ordinaire ne suffisait pas. Je connaissais la cohomologie étale, la cohomologie cristalline et les topos de Grothendieck pour moi se cantonnaient à cela. J'avais entendu aussi que les logiciens s'étaient emparés des topos, mais comme la plupart des mathématiciens je pensais que la logique ne servait à rien. J'ai pensé cela jusqu'à ce qu'Olivia m'explique des éléments de logique et à me parler de topos en relation avec cette logique. (...) J'ai été très vite convaincu par le théorème d'existence des topos classifiants (...) qui pour moi était une surprise totale.
</blockquote>

<blockquote>
Notre conviction est que la théorie des topos et de leurs présentations, avec son ambiguïté essentielle et structurelle, est appelée à produire sur les mathématiques un impact comparable à celui qu’a produit la théorie des groupes à partir du moment où, quelques décennies après sa découverte par Galois, elle a commencé à être comprise par la communauté mathématique.
<cite><a href="http://preprints.ihes.fr/2016/M/M-16-26.pdf">Sur la dualité des topos et de leurs présentations et ses applications : une introduction - Olivia CARAMELLO et Laurent LAFFORGUE</a></cite>
</blockquote>


<!-- ********************************************************************************* -->
<h2>Bartosz Milewski</h2>
<h2>Barr Wells</h2>

<cite>Category Theory for Computing Science - Michael Barr, Charles Wells</cite>

<blockquote>
The type of category that has just the right properties to serve as a replacement for set theory is called a topos (plural: topoi),
<br>and it provides, among other things, a generalized notion of a subset.
<cite><a href="https://github.com/hmemcpy/milewski-ctfp-pdf">Category theory for programmers</a>, <a href="topoi-barbartosz-milewski.pdf">chap. 29, p 450</a></cite>
p 383 : A topos is a cartesian closed category with some extra structure which produces an object of subobjects for each object. This structure makes toposes
more like the category of sets than cartesian closed categories generally are.
<br>(...)
<br>Toposes have interested mathematicians for other reasons. They are an
abstraction of the concept of sheaf, which is important in pure mathematics.
They allow the interpretation of second-order statements in the category
in an extension of the language associated to cartesian closed categories in
Chapter 6. This fact has resulted in toposes being proposed as an alternative
to the category of sets for the foundations of mathematics. Toposes can
also be interpreted as categories of sets with an internal system of truth
values more general than the familiar two-valued system of classical logic;
<b>this allows an object in a topos to be thought of as a variable or time-dependent
set, or as a set with various degrees of membership</b>. In particular,
most ways of defining the category of fuzzy sets lead to a category which
can be embedded in a topos.
</blockquote>

<blockquote>
p 384 : We do not discuss the language and logic corresponding to a topos in this book.
<br>The most accessible introduction to this is perhaps that of [McLarty, 1992], Chapter 16.
<br><b>McLarty, C. (1992). Elementary Categories, Elementary Toposes, volume 21 of Oxford Logic Guides. Clarendon Press</b>
</blockquote>

<blockquote>
p 385 :
<br><pre class="inline-block">
A topos is a category which
TOP–1 has finite limits
TOP–2 is cartesian closed
TOP–3 has a representable subobject functor
</pre>
</blockquote>

<blockquote>
p 386 :
<img class="border margin" src="img/barr-wells-2-subobject-classifier-p386.jpg" alt="Barr Wells : 2 is a subobject classifier">
</blockquote>


<!-- ********************************************************************************* -->
<h2>Bertrand Toen</h2>
<cite><a href="https://www.youtube.com/watch?v=yNgvvNx_P9w&t=2121s">Agora des savoirs - Hommage à Alexandre Grothendieck </a></cite>
<img style="display:block; border:1px solid grey; margin:1em;" src="toen-01-11-48.jpg">
<img style="display:block; border:1px solid grey; margin:1em;" src="toen-01-17-09-topos.jpg">
<img style="display:block; border:1px solid grey; margin:1em;" src="toen-01-18-44.jpg">
<img class="border margin" src="img/toen-01-11-48.jpg">
<img class="border margin" src="img/toen-01-17-09-topos.jpg">
<img class="border margin" src="img/toen-01-18-44.jpg">



<!-- ********************************************************************************* -->
<h2>Bartosz Milewski</h2>
<blockquote>
The type of category that has just the right properties to serve as a replacement for set theory is called a topos (plural: topoi),
<br>and it provides, among other things, a generalized notion of a subset.
<cite><a href="https://github.com/hmemcpy/milewski-ctfp-pdf">Category theory for programmers</a>, <a href="topoi-barbartosz-milewski.pdf">chap. 29, p 450</a></cite>
</blockquote>

<!-- ********************************************************************************* -->
<h2>Erik Meijer</h2>

<cite><a href="https://www.youtube.com/watch?v=JMP6gI5mLHc">Category Theory, The essence of interface-based design (2015)</a></cite>

<img class="border margin" src="schema-topos-small.jpg">
<img class="border margin" src="img/meijer-schema-topos.jpg">

In a category, we have a point X, a point of our usual spaces.
<br/>And then an other point Y, which is beyond space, coming from Grothendieck, and which permits to build this construction with X1 and X2.
@@ -227,9 +297,9 @@ there exists a <b>unique</b> morphism &Delta; such that the diagram commutes
<!-- ********************************************************************************* -->
<h2>Notes maison</h2>

<img style="display:block; border:1px solid grey; margin:1em;" src="tig12-faisceaux-recollement.jpg">
<img style="display:block; border:1px solid grey; margin:1em;" src="tig12-topos1.jpg">
<img style="display:block; border:1px solid grey; margin:1em;" src="tig12-faisceau-espace-etale.jpg">
<img class="border margin" src="img/tig12-faisceaux-recollement.jpg">
<img class="border margin" src="img/tig12-topos1.jpg">
<img class="border margin" src="img/tig12-faisceau-espace-etale.jpg">


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